Ilmuwan Kalkulus Matematika 3

Melanjutkan tulisan sebelumnya, inilah profil ilmuwan matematika yang berperan dalam perkembangan kalkulus. 

(Sumber :Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 karangan Edwin J. Purcell dan Dale E. Varberg versi terjemahan Indonesia.)

Bab 8. Teknik Pengintegralan

 

 Johann Bernoulli (1667 - 1748)

“Kita telah melihat bagaimana mencari turunan-turunan dari besaran-besaran. Sekarang kita akan memperlihatkan secara berkebalikan bagaimana integral-integral dari turunan-turunan dicari, yaitu besaran-besaran dari mana turunan-turunan tersebut berasal.”

Johann Bernoulli mungkin yang paling terkenal dari sebuah keluarga matematikawan yang produktif. Paling sedikit 8 orang matematikawan abad ke-18 yang terkemuka mempunyai nama Swiss – Bernoulli, dan dikatakan masih terdapat matematikawan aktif yang mempunyai nama ini. Tetapi, demikian banyaknya bakat matematis dalam satu keluarga boleh jadi bukan merupakan berkah yang tak terbagi, seperti yang akan kita lihat.

Johann dan saudaranya Jacques, setelah Newton dan Leibniz, merupakan perintis-perintis yang terpenting dari kalkulus. Kedua bersaudara tersebut bersaing dengan penuh semangat dan sering dengan sengit demi pengakuan, walaupun mereka tetap berkomunikasi satu sama lain dan dengan Leibniz tentang matematika. Johann akan menghaki hasil-hasil yang ditemukan oleh saudaranya (atau oleh yang lain), dan Jacques akan memberikan reaksi yang serupa. Usaha-usaha Leibniz untuk mendamaikan hanya makin melibatkannya dalam percekcokan tersebut. Bahkan Daniel, putra Johann terbawa ke dalam pertentangan itu dan terpaksa meninggalkan rumah pada waktu Leibniz memenangkan hadiah setelah mengungguli Johann. Itu merupakan catatan yang tidak membahagiakan untuk sebuah keluarga yang benar-benar mengagumkan.

Keluarga Bernoulli menangani semua jenis masalah dasar dalam kalkulus, termasuk titik-titik balik, panjang kurva-kurva, deret tak terhingga, dan teknik-teknik pengintegralan. Johann menulis buku ajar kalkulus yang pertama pada tahun 1691 dan 1692, tetapi bagian tentang kalkulus integral tidak diterbitkan sampai tahun 1742 dan tentang kalkulus diferensial sampai tahun 1924. Sebagai gantinya, pada tahun 1696, Guillame F. A de l’Hopital, mahasiswa Johann, menerbitkan naskah kalkulus yang pertama. Bentuknya diubah sedikit dari karya gurunya. Mungkin pengaruh Johann paling baik dilihat pada mahasiswanya yang lain dan yang lebih terkenal, Leonhard Euler.

Bab 17. Kalkulus Vektor

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

“Matematika adalah ratu dari ilmu dan ilmu hitung (aritmetika) adalah ratu dari matematika. Ia sering berkenan merendahkan diri menyumbang kepada astronomi dan ilmu alam lainnya, tetapi dalam semua hubungan ia berhak mendapat peringkat pertama.”

Gauss telah disebut matematikawan terbesar sejak Newton dan dikenal di kalangan sebayanya sebagai Pangeran Matematikawan. Untunglah, kejeniusannya dikenali di sekolah dasar. Satu cerita mengatakan pada usia 10 tahun ia mengacaukan gurunya dengan menjumlahkan bilangan-bilangan bulat 1 sampai 1000 hampir secara seketika (ia memakai suatu akal sederhana). Pada usia 15 tahun, ia mulai menjamu gagasan tentang geometri non-Euclidis; pada usia 18 tahun, ia menciptakan metode kuadrat terkecil; dan pada usia 19 tahun, ia merampungkan suatu pertanyaan yang berusia 2000 tahun dengan membangun sebuah poligon 17 sisi dengan memakai penggaris dan kompas.

Gauss menghabiskan hampir seluruh hidupnya di observatorium astronomi di Gottingen, sebuah kota kecil di jantung Jerman. Di sana ia membangun suatu tradisi matematis, yang segera membuat Gottingen dan universitasnya sebagai pusat matematika dari dunia, suatu tradisi yang berakhir sampai Hitler membubarkan ketenarannya, tetapi sebagian karena staff Yahudi.

Gauss menyumbang kepada banyak cabang matematika. Tesis doktornya tahun 1799 memberikan bukti yang pertama dari Teorema Dasar Aljabar. Karya klasiknya Disquisitiones Arithmeticae  tahun 1801merupakan buku yang paling berpengaruh tentang teori bilangan sepanjang masa. Dalam kalkulus, karyanya yang menonjol pada permukaan melengkung termasuk Teorema Kedivergenan, yang muncul dalam bab ini.

Seperti Newton, yang sangat dikaguminya, Gauss menerapkan matematika pada masalah-masalah di dunia fisis, khususnya dalam sastronomi dan fisika. Karyanya dalam kemagnetan, sekarang diakui dengan memberi satuan gauss sebagai suatu ukuran kekuatan medan.

Ilmuwan Kalkulus Matematika 2

Melanjutkan tulisan sebelumnya, inilah profil ilmuwan matematika yang berperan dalam perkembangan kalkulus. 

(Sumber :Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 karangan Edwin J. Purcell dan Dale E. Varberg versi terjemahan Indonesia.)

Bab 5. Integral

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)

Bernhard Riemann menerima pendidikan dini dari ayahnya, seorang pendeta Protestan Jerman. Pada waktu ia memasuki perguruan tinggi tahun 1846, maksudnya adalah mempelajari ilmu agama dan ilmu bahasa-bahasa. Beruntung untuk matematika, ia memilih Universitas Gottingen, yang telah dan selama 100 tahun berikutnya tetap merupakan pusat matematika dunia. Di sana ia kena pengaruh W. E. Weber, seorang fisikawan kelas satu, dan Karl F. Gauss, matematikawan terbesar saat itu. Seseorang tidak perlu menginginkan guru yang lebih baik. Pada tahun 1851 ia menerima Ph. D-nya di bawah Gauss, setelah itu ia tinggal di Gottingen untuk mengajar. Ia meninggal karena tbc 15 tahun kemudian.

Hidupnya singkat, hanya 39 tahun. Ia tidak mempunyai waktu untuk menghasilkan karya matematika sebanyak yang dihasilkan Cauchy atau Euler. Tetapi karyanya mengagumkan untuk kualitas dan kedalamannya. Makalah matematisnya menetapkan arah baru dalam teori fungsi kompleks memprakarsai studi mendalam dari apa yang sekarang ini disebut topologi, dan dalam geometri memulai perkembangan yang memuncak 50 tahun kemudian dalam teori relativitas Einstein.

Kita asosiasikan Riemann dengan bab ini, karena walaupun Newton dan Leibniz keduanya mempunyai suatu versi tentang integral dan mengetahui Teorema Dasar dari kalkulus integral, Riemannlah yang memberi kita definisi modern tentang integral tentu. Untuk menghormatinya, disebut integral Riemann.

Bab 6. Penggunaan Integral

Archimedes (287 – 212 Sebelum Masehi)

“Berikan saya tempat untuk berdiri, dan akan saya gerakkan bumi”

Archimedes dari Syracuse, tanpa diragukan, merupakan matematikawan terbesar dari zaman purbakala. Keturunan Yunani, ia menerima pendidikan di Alexandria, pusat pengajaran dan kebudayaan Yunani. Pada masanya sendiri ia tekenal sebagai pencipta dan seorang ilmuwan praktis. Ia menciptakan sekrup Archimedes untuk memompa air, ia menyatakan sifat-sifat katrol dan pengungkit, ia membangun sebuah model mekanis yang meniru gerakan bulan dan planet-planet, dan – untuk memuaskan raja Syracuse – ia menemukan cara untuk memutuskan apakah mahkota raja dibuat dari emas asli tanpa meleburnya (prinsip daya apung Archimedes).

Penemuan-penemuan dan perkakas-perkakas praktis untuk Archimedes hanyalah hiburan belaka; tulisan-tulisannya yang terbaik dan pikirannya yang paling tajam dicurahkan ke bagian dari matematika yang sekarang dikenal sebagai kalkulus integral. Dengan memakai metode (metode keletihan) dimana ia menjumlahkan sejumlah besaran-besaran yang sangat kecil, ia mengemukakan beberapa dari hasil-hasil itu dalam bab ini. Sumbanga-sumbangannya antara lain adalah rumus luas lingkaran, luas dari potongan parabola, luas elips, volume dan luas permukaan bola, dan volume kerucut dan benda-benda putar lain. Ia dikatakan telah meminta kepada teman-temannya agar di atas batu nisannya diletakkan sebuah bola yang berisi tabung berukir, ditulisi dengan hasil bagi volume bola dan tabung tersebut.

Bab 7. Fungsi Transenden

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Dapatkah anda bayangkan seseorang menulis tentang matematika setara dengan 75 buah buku? Itulah sumbangan Leonhard Euler, tokoh dominan dari matematika abad ke-18 dan pengarang matematika yang paling subur sepanjang masa. Lahir dekat Basel, Swiss, ia belajar kepada orang sebangsanya Johann Bernoulli dan telah menerbitkan makalah-makalah pada usia 18 tahun. Ia menjabat di Universitas Basel, St. Petersburg Academy of Sciences. Pada waktu ia meninggal, disebutkan bahwa semua matematikawan Eropa adalah mahasiswanya.

Minat Euler terentang di semua matematika dan fisika. Kita telah memilihnya sebagai wakil dari bab ini karena sumbangannya pada kalkulus fungsi-fungsi transeden (yakni, bukan aljabar). Khususnya, ia memperkenalkan e sebagai bilangan dasar untuk logaritma natural, memperlihatkan bahwa e dan e² adalah irasional, dan menemukan hubungan luar biasa e^iπ=-1.

Kebutaan selama 17 tahun terakhir dari hidupnya nampaknya tidak menghambat karyanya. Sebagian, disebabkan oleh daya ingatnya yang ajaib; ia mengetahui dalam hati rumus-rumus trigonometri dan analisis, ditambah banyak puisi dan seluruh Aeneid. Dikatakan bahwa ia telah mengerjakan suatu perhitungan sampai 50 posisi desimal di dalam kepalanya.

Euler adalah seorang pecinta keluarga, yang seringkali menghabiskan waktu sore harinya dengan membangun permainan-permainan ilmiah dan membaca Injil untuk 13 putra-putrinya. Ia memang seorang manusia yang benar-benar mengagumkan.

Bersambung....